sábado, julio 20, 2024
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Teorema de Tales en 5 minutos + ejemplos

El teorema de Tales o también llamado teorema de Tales de Mileto es un resultado fundamental en geometría que establece una proporción entre las longitudes de segmentos que se intersecan en líneas paralelas. Este teorema se aplica a figuras geométricas similares y establece lo siguiente:

Si se trazan dos líneas paralelas que intersecan a una serie de segmentos en una de las líneas, entonces las longitudes de los segmentos correspondientes son proporcionales.

Matemáticamente, podemos representar el teorema de Tales de la siguiente manera:

Si AB // CD, entonces (AC / AD) = (BC / BD).

¿Para que sirve el teorema de tales?

  1. Proporción de segmentos: El teorema de Tales permite establecer una relación de proporcionalidad entre los segmentos de líneas paralelas. Esta propiedad es útil en muchos campos, como la arquitectura, la cartografía y el diseño gráfico, donde es necesario realizar reducciones o ampliaciones proporcionales de figuras.
  2. Resolución de problemas de semejanza: La semejanza de figuras geométricas implica que sus lados sean proporcionales. El teorema de Tales proporciona una herramienta para identificar y demostrar la semejanza de triángulos, lo que facilita la resolución de problemas de geometría.
  3. Geometría analítica: El teorema de Tales se utiliza en la geometría analítica para establecer relaciones proporcionales entre coordenadas en el plano cartesiano. Esto es especialmente útil al trabajar con rectas paralelas y encontrar puntos de intersección.
  4. Cálculo de distancias inaccesibles: En situaciones donde es imposible medir directamente una distancia o longitud, el teorema de Tales puede utilizarse para determinarla indirectamente a través de relaciones de semejanza. Esto es útil, por ejemplo, en la estimación de alturas de edificios o árboles.
  5. Construcción de figuras geométricas: El teorema de Tales es una herramienta esencial en la construcción de figuras geométricas utilizando únicamente regla y compás. Permite realizar divisiones proporcionales y construir figuras semejantes a partir de figuras dadas.

Teorema de tales ejemplos

Ahora veamos algunos ejemplos para comprender mejor cómo se aplica el teorema de Tales.

  • Ejemplo 1: Supongamos que tenemos dos líneas paralelas, AB y CD, que se intersectan con una tercera línea en los puntos A, B, C y D. Si conocemos las longitudes de los segmentos AC, BC y BD, podemos utilizar el teorema de Tales para encontrar la longitud del segmento AD.

Si se cumple la proporción (AC / AD) = (BC / BD), podemos escribir:

AC / AD = BC / BD

Si conocemos que AC = 6 cm, BC = 4 cm y BD = 10 cm, podemos sustituir los valores en la ecuación:

6 / AD = 4 / 10

Para encontrar la longitud de AD, podemos resolver la ecuación:

4 * AD = 6 * 10 4 * AD = 60 AD = 60 / 4 AD = 15 cm

Por lo tanto, la longitud del segmento AD es de 15 cm.

  • Ejemplo 2: Ahora supongamos que tenemos dos líneas paralelas, EF y GH, que se intersectan con una tercera línea en los puntos E, F, G y H. Si conocemos las longitudes de los segmentos EF, GH y EH, podemos utilizar el teorema de Tales para encontrar la longitud del segmento FG.

Si se cumple la proporción (EF / FG) = (EH / GH), podemos escribir:

EF / FG = EH / GH

Si conocemos que EF = 5 cm, EH = 7 cm y GH = 14 cm, podemos sustituir los valores en la ecuación:

5 / FG = 7 / 14

Para encontrar la longitud de FG, podemos resolver la ecuación:

7 * FG = 5 * 14 7 * FG = 70 FG = 70 / 7 FG = 10 cm

Por lo tanto, la longitud del segmento FG es de 10 cm.

Problemas de teorema de tales

Ahora que hemos repasado algunos ejemplos, es hora de poner a prueba tus conocimientos con un breve cuestionario sobre el teorema de Tales. A continuación, encontrarás algunas preguntas, pero no te preocupes, ¡te proporcionaré las respuestas de inmediato!

Cuestionario:

  1. ¿Cuál es la fórmula del teorema de Tales?
  2. Si AB // CD y AC = 3 cm, BC = 5 cm y BD = 10 cm, ¿cuál es la longitud de AD?
  3. Si EF // GH y EF = 6 cm, EH = 8 cm y GH = 16 cm, ¿cuál es la longitud de FG?

Respuestas a los problemas de teorema de tales

Para conocer las respuestas a los problemas de teorema de tales tan solo debes usar el desplegable que te dejo aquí abajo.

¿Cuál es la fórmula del teorema de Tales?

Respuesta: La fórmula del teorema de Tales es (AC / AD) = (BC / BD) para segmentos correspondientes en líneas paralelas.

Si AB // CD y AC = 3 cm, BC = 5 cm y BD = 10 cm, ¿Cuál es la longitud de AD?

Respuesta: Podemos aplicar el teorema de Tales utilizando la proporción (AC / AD) = (BC / BD). Sustituyendo los valores conocidos, tenemos: 3 / AD = 5 / 10

Al simplificar la proporción, obtenemos: 10 * 3 = 5 * AD 30 = 5 * AD AD = 30 / 5 AD = 6 cm

Por lo tanto, la longitud de AD es de 6 cm.

Si EF // GH y EF = 6 cm, EH = 8 cm y GH = 16 cm, ¿Cuál es la longitud de FG?

Respuesta: Aplicando el teorema de Tales utilizando la proporción (EF / FG) = (EH / GH), sustituyendo los valores conocidos, tenemos: 6 / FG = 8 / 16

Simplificando la proporción, obtenemos: 16 * 6 = 8 * FG 96 = 8 * FG FG = 96 / 8 FG = 12 cm

Por lo tanto, la longitud de FG es de 12 cm.

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